ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108146
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S1 и S2.


Решение

  Пусть окружность S1 вторично пересекает CD в точке F. Будем считать для определённости, что точка E лежит между D и F (возможно, точки E и F совпадают). По теореме о касательной и секущей  DF·DE = AD2 = BD2,  поэтому и окружность S2 проходит через точку F. Поскольку
CM·CA = CF·CE = CN·CB,  то  CM : CN = CB : CA,  значит треугольники CMN и CBA подобны. Следовательно,  ∠CMN = ∠CBA,  ∠CNM = ∠CAB.

  Через точку M проведём касательную к окружности S1. Пусть P – точка пересечения этой касательной с прямой AB, а Q – точка на продолжении отрезка PM за точку M. Поскольку  PM = PA  (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то  ∠QMC = ∠PMA = ∠MAP = ∠A = ∠CNM.
  Значит, угол между лучом MQ и хордой CM описанной окружности S треугольника CMN равен вписанному в эту окружность углу CNM. Поэтому прямая PQ – касательная к окружности S, то есть общая касательная окружностей S1 и S, проведённая в их общей точке M. Следовательно, окружности S1 и S касаются.
  Аналогично касаются окружности S2 и S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6496
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.5.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .