Задача 108146

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Касающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S₁, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S₂, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S₁ и S₂.

Решение

  Пусть окружность S₁ вторично пересекает CD в точке F. Будем считать для определённости, что точка E лежит между D и F (возможно, точки E и F совпадают). По теореме о касательной и секущей  DF·DE = AD² = BD²,  поэтому и окружность S₂ проходит через точку F. Поскольку
CM·CA = CF·CE = CN·CB,  то  CM : CN = CB : CA,  значит треугольники CMN и CBA подобны. Следовательно,  ∠CMN = ∠CBA,  ∠CNM = ∠CAB.

  Через точку M проведём касательную к окружности S₁. Пусть P – точка пересечения этой касательной с прямой AB, а Q – точка на продолжении отрезка PM за точку M. Поскольку  PM = PA  (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то  ∠QMC = ∠PMA = ∠MAP = ∠A = ∠CNM.
  Значит, угол между лучом MQ и хордой CM описанной окружности S треугольника CMN равен вписанному в эту окружность углу CNM. Поэтому прямая PQ – касательная к окружности S, то есть общая касательная окружностей S₁ и S, проведённая в их общей точке M. Следовательно, окружности S₁ и S касаются.
  Аналогично касаются окружности S₂ и S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6496
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	00.5.9.7