ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108183
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема синусов ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны AB, BC, CD и DA описанного четырёхугольника ABCD касаются его вписанной окружности в точках K, L, M и N соответственно. Прямая, проведённая через точку C параллельно диагонали BD, пересекает прямые NL и KM в точках P и Q соответственно. Докажите, что  CP = CQ.


Решение

  Как известно (см. задачу 57022) прямые BD, KM и LN пересекаются в одной точке; обозначим её X.
  Поскольку прямые BD и PQ параллельны (см. рис.), то треугольник LCP подобен треугольнику LBX, а треугольник MCQ – треугольнику MDX. Поэтому  PC = LC·BX/BLCQ = MC·DX/DM.

  Заметим, что  ∠BLX = 180° – ∠DNX.  Применив теорему синусов к треугольникам BLX и DNX, получим  BX : BL = DX : DN = DX : DM.  Кроме того,
LC = MC  как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Следовательно,  CQ = CP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6530

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .