Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?
Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Комплект косточек домино выложен в виде прямоугольника 8×7 клеток.
Попробуйте определить, как расположены косточки?
Цена стандартного обеда в таверне "Буратино" зависит только от дня недели. Аня обедала 10 дней подряд, начиная с 10 июля, и заплатила 70 сольдо. Ваня также заплатил 70 сольдо за 12 обедов, начиная с 12 июля. Таня заплатила 100 сольдо за 20 обедов, начиная с 20 июля. Сколько заплатит Саня за 24 обеда, начиная с 24 июля?
Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
AA1 и BB1 – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.
На стороне BC треугольника ABC выбрана произвольная точка D . В треугольники ABD и ACD вписаны окружности с центрами K и L соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются на фиксированной окружности.
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек (m > n). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
|
|
 |
Условие
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
Решение
Лемма. Пусть P и Q – точки касания со сторонами соответственно XY и XZ окружности с центром I, вписанной в треугольник XYZ; T – точка пересечения прямых YI и PQ. Тогда ∠YTZ = 90°.
Доказательство. Пусть точка T (рис. слева) лежит вне отрезка PQ (например, на продолжении PQ за точку Q). Обозначим углы треугольника XYZ через α, β и γ. Из равнобедренного треугольника XPQ находим, что ∠XPT = ∠XPQ = 90° – α/2.
Поскольку XPT – внешний угол треугольника YPT, то
∠YTP = ∠XPT – ∠PYT = 90° – α/2 – β/2 = γ/2 = ∠IZQ.
Из точек T и Z, лежащих по одну сторону от прямой IQ, отрезок IQ виден под одним и тем же углом, равным γ/2. Значит, эти точки лежат на одной окружности, а так как вписанный в эту окружность угол IQZ – прямой, то IZ – диаметр окружности. Следовательно, ∠YTZ = ∠ITZ = 90°.
Аналогично разбирается случай, когда точка T лежит на отрезке PQ.
Продолжим отрезки AN и CM до пересечения в точке K (рис. справа). По лемме CN и AM – высоты треугольника AKC, а O – его ортоцентр. Поскольку OD ⊥ AC, то точка D – основание третьей высоты треугольника AKC. Точки N и M лежат на окружности с диаметром OK, поэтому центр этой окружности, как и точка O лежит на прямой KD.
