Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P,  AB : BC = 2 : 3.  Найдите  AP : PC.

   Решение

---

Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб KLMN с углом 60^o при вершине K . Точки E и F – середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB .

   Решение

---

Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

   Решение

---

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно AB .

   Решение

---

Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .

Подсказка

Если O — центр вписанной окружности треугольника ABC, то BOC = 90^o + BAC.

Решение

Обозначим BAC = α . Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC . Тогда BO и CO – биссектрисы углов ABC и ACB . Поэтому

BOC = 90^o+ BAC = 90^o+.
Пусть O1 – точка, симметричная точке O относительно прямой BC . Тогда
BO1C = BOC = 90^o+.
По условию задачи точка O1 лежит на описанной окружности треугольника ABC , поэтому четырёхугольник ABO1C вписан в эту окружность. Значит,
BO1C + BAC = 180^o,
или
(90^o+) + α = 180^o.
Из этого уравнения находим, что α = 60^o .

Ответ

60^o .

Источники и прецеденты использования