Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренную трапецию KLMN ( LMKN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

   Решение

---

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

   Решение

---

Решить уравнение 2-log _{sin x} cos x=log _{cos x} sin x.

   Решение

---

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .

   Решение

---

Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

   Решение

---

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60^o . Найдите периметр трапеции.

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60^o . Найдите периметр трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.

Решение

Пусть ABCD – данная трапеция, BC=3 и AD=5 – её основания, AC=8 – данная диагональ, O – точка пересечения диагоналей. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD . Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке E . Тогда BCED – параллелограмм,

DE=BC=3, AE = AD+DE = AD+BC=3+5 = 8 = AC.
Поэтому треугольник CAE – равнобедренный. Значит,
AEC = ACE = AOD.
Заметим, что угол AOD не может быть тупым, т.к. он равен углу ACE при основании равнобедренного треугольника. Поэтому AOD = 60^o . Следовательно, треугольник ACE – равносторонний, а значит, CE=8 . Поскольку диагонали AC и BD трапеции ABCD равны, то она равнобедренная. По теореме косинусов из треугольника CED находим, что
CD2 = CE2+DE2 - 2· CE· DE cos 60^o = 64+9 - 2· 8· 3 · = 49.
Поэтому CD = 7 . Следовательно, периметр трапеции равен 3+5+7+7 = 22 .

Ответ

22.00

Источники и прецеденты использования