|
|
 |
Условие
Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.
Решение
Пусть r1 – радиус окружности ω1 с центром O1, r2 – радиус окружности ω2 с центром O2. Если P – точка пересечения общей внутренней касательной к окружностям с прямой O1O2, то PO1 : PO2 = r1 : r2.
Пусть прямые, проходящие через точку X, касаются окружности ω1 в точках A и D, а окружности ω2 – в точках C и B, причём диагонали AC и O1O2 четырёхугольника AO1CO2 пересекаются в точке S (см.рисунок). По теореме синусов SO1 : sin∠O1AS = r1 : sin∠O1SA, SO2 : sin∠O2SC = r2 : sin∠O2CS. (1)
Кроме того, углы O1SA и O2SC равны как вертикальные. Теперь из равенств (1) следует, что SO1 : SO2 = r1 : r2.
Поскольку существует единственная точка, делящая отрезок в данном отношении, точки P и S совпадают.
Аналогичные рассуждения верны и для диагонали BD. Таким образом, две диагонали четырёхугольника и две общие внутренние касательные пересекают линию центров в одной и той же точке.
