Версия для печати
Убрать все задачи

---

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

   Решение

---

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

Решение

Так как точка P пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам KN и LM равноудалена от концов каждого из этих отрезков, то треугольники KPN и LPM – равнобедренные (см. рис.). В этих треугольниках равны углы при основаниях, поэтому равны и углы при вершине Р.

Таким образом,  KP = NP,  MP = LP  и  ∠KPM = ∠NPL  (углы, смежные с равными). Следовательно, треугольники KPM и NPL равны, значит,  KM = NL.

Замечания

Задача предлагалась также на Санкт-Петербургской олимпиаде 1997 г.

Источники и прецеденты использования