Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  касается сторон AB и BC.
Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно  3 : 8.

   Решение

Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.

   Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна r2 , где r – радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны треугольника.

   Решение

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

   Решение

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

   Решение

Прямая l проходит через точку, лежащую на окружности с центром O и радиусом r . Известно, что ортогональной проекцией прямой l на плоскость окружности является прямая, касающаяся этой окружности. Найдите расстояние от точки O до прямой l .

   Решение

Решите задачу 3 для надписи A, BC, DEF, CGH, CBE, EKG.

   Решение

Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC. Известно, что  AH = 1  и  2∠MAC = ∠MCA.  Найдите сторону BC.

   Решение

Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R. Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ,
а  ∠KXA = ∠NXB = 60°.  Найдите длину отрезка KN.

   Решение

Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB,  2AB = BS  и точка B лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

   Решение

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Окружности (построения) ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

Решение

Пусть задача решена. Отрезок BC прямой, проходящей через точку пересечения двух окружностей A , равен данному отрезку a . Опустим из центров окружностей O и O₁ перпендикуляры OE и O₁F на эту прямую. Из центра O₁ проведем прямую O₁K , параллельную EF (рис.). EFO₁K – прямоугольник, KO₁=EF, EF=EA+AF, BE=EA, AF=FC , так как хорды делятся перпендикулярными к ним радиусами пополам. Поэтому EF=BE+FC=a/2 . Построение сводится к построению прямоугольного треугольника KOO₁ по гипотенузе OO₁ и катету KO₁=EF=a/2 . Построив этот треугольник, проводим искомую прямую параллельно O₁K через точку A или опускаем из точки A перпендикуляр на OK . Поскольку по одну сторону от данного отрезка OO₁ можно построить два равных симметричных прямоугольных треугольника, то задача имеет два решения. Два решения будет и в том случае, когда получится только один равнобедренный треугольник, так как в этом случае его катеты равноправны и условию задачи будет удовлетворять перпендикуляр, опущенный на каждый из катетов. Построение возможно, если возможно построение прямоугольного треугольника, т. е. если a/21 . В случае a/2=OO₁ решение также возможно, но оно будет единственным. Это будет прямая, проходящая через точку А параллельно линии центров.

Источники и прецеденты использования