Версия для печати
Убрать все задачи

---

Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180^o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).

   Решение

---

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

   Решение

---

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

   Решение

---

Касательная, проведенная через вершину M вписанного в окружность треугольника KLM, пересекает продолжение стороны KL за вершину L в точке N. Известно, что радиус окружности равен 2, KM = и MNK + KML = 4LKM. Найдите касательную MN.

   Решение

---

Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

   Решение

---

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

   Решение

---

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

   Решение

---

Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям:  l || BC,  l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.

   Решение

---

Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?

   Решение

---

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . На рёбрах AD , A1D1 и B1C1 взяты точки M , L и K соответственно, причём B1K = A1L , AM = A1L . Известно, что KL = 2 . Найдите длину отрезка, по которому плоскость KLM пересекает параллелограмм ABCD .

   Решение

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . На рёбрах AD , A1D1 и B1C1 взяты точки M , L и K соответственно, причём B1K = A1L , AM = A1L . Известно, что KL = 2 . Найдите длину отрезка, по которому плоскость KLM пересекает параллелограмм ABCD .

Решение

Пусть секущая плоскость пересекает прямую BC в точке N , а прямую AB – в точке P . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей MN || KL . Обозначим A1L = 6a . Тогда B1K = 2a , AM = 3a . Через точки L и K проведём прямые, параллельные AA1 до пересечения с прямыми AD и BC в точках L' и K' соответственно. (точки L' и K' – параллельные проекции точек L и K на плоскость ABCD с проектирующей прямой AA1 ). Тогда

AL'= A1L = 6a, BK'= B1K = 2a, ML'= AL' - AM = 6a - 3a = 3a,

NK' = ML' = 3a, BN = NK'- BK' = 3a - 2a = a.
Из подобия треугольников BPN и APM находим, что
= = = .
Поэтому = . Следовательно,
PM = MN = K'L' = KL = · 2 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования