Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

Вниз   Решение


Натуральное число n таково, что  3n + 1  и  10n + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29n + 11  – составное.

ВверхВниз   Решение


Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E,  AB = AD,  CA – биссектриса угла C,  ∠BAD = 140°,  ∠BEA = 110°.
Найдите угол CDB.

ВверхВниз   Решение


В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  R=50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

ВверхВниз   Решение


Из условия tgϕ=1/ cosα cosβ+ tgα tgβ вывести, что cos 2ϕ 0 .

ВверхВниз   Решение


Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку B на их общей касательной AB проведены две прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках M и N, а другая вторую окружность в точках P и Q. Известно, что AB = 6, BM = 9, BP = 5. Найдите отношение площадей треугольников MNO и PQO, где точка O — точка пересечения прямых MP и NQ.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

ВверхВниз   Решение


Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.

ВверхВниз   Решение


Окружность C2 расположена внутри окружности C1 и касается ее в точке P. Секущая MN окружности C1(M, N $ \in$ C1) и секущая ST окружности C2 ( S, T $ \in$ C2) пересекаются в точке Q, причем PQ является касательной к окружности C1. Отрезки NS и TM пересекаются в точке O. Площадь треугольника MON в 16 раз больше площади треугольника OTS. Найдите длину отрезка PQ, если SQ = 9, MQ = 6 и TQ > SQ, NQ > MQ.

ВверхВниз   Решение


Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Вверх   Решение

Задача 109176
Темы:    [ Отрезок, соединяющий середины ребер ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Решение

Пусть AM=MS, SN=NC, SP=PB, AK=KB, BL=LC, AR=RC (рис.). Покажем, что все три отрезка ML,KN,PR пересекутся в одной точке. Например, покажем, что KN с ML пересекаются и делят в точке пересечения друг друга пополам. Это вытекает из того, что MNLK – параллелограмм. В этом легко убедиться, заметив, что KL – средняя линия в треугольнике ABC , MN – средняя линия в треугольнике ASC , обе они параллельны AC и равны ее половине. Аналогично можно показать, что, например, PR и ML пересекаются и делятся в точке пересечения пополам, из чего следует, что все три отрезка пересекаются в одной точке. Из треугольника KLN получаем, что KN<KL+LN=(SB+AC)/2 . Из треугольника PML: ML<MP+PL=(AB+SC)/2 . Из треугольника PKR: PR<KP+KR=(AS+BC)/2 . Сложив почленно полученные неравенства, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер 17
Название 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1967
неизвестно
Название Задача 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .