Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM . Окружность радиуса 5 проходит через вершину K , касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Найдите угол MKL и площадь треугольника KLM , если ML=9 , KA:LB=5:6 .

   Решение

Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

   Решение

Дан треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, AC и AB соответственно. На продолжении отрезка C₁B₁ отложен отрезок B₁K по длине равный . Известно, AA₁ = BC. Докажите, что AB = BK.

   Решение

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

   Решение

В справочнике "Магия для чайников" написано:
  Замените в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные – на разные.
  Если полученное число окажется простым, случится настоящее землетрясение.
Возможно ли таким образом устроить землетрясение?

   Решение

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что лучи A₁A, B₁B и С₁C являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что AA₁, BB₁ и СС₁ – высоты треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что лучи A₁A, B₁B и С₁C являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что AA₁, BB₁ и СС₁ – высоты треугольника ABC.

Решение

  Проведём биссектрисы внешних углов треугольника A₁B₁C₁. Пусть биссектрисы внешних углов B₁ и C₁ пересекаются в точке A₂, и т.д. Через точку A₂ проходит также биссектриса угла A₁ (поскольку точка A₂ равноудалена от прямых A₁B₁, B₁C₁ и A₁C₁) – прямая A₁A. Значит, в треугольнике A₂B₂C₂ прямые AA₁, BB₁ и СС₁ являются высотами. Докажем, что треугольники A₂B₂C₂ и ABC совпадают.
  Пусть это не так, например, точка A₂ находится вне треугольника ABC. Тогда луч A₂B₂ пересекает сторону AB треугольника ABB₁ (в точке C₁) и не пересекает сторону AB₁ (их разделяет прямая A₂A₁). Следовательно, он пересекает сторону BB₁, то есть точка B₂ находится внутри отрезка BB₁, а значит, внутри треугольника ABC. Аналогично C₂ находится внутри треугольника ABC. Но отрезок B₂C₂ пересекает сторону BC в точке A₁. Противоречие.
  Аналогично к противоречию ведёт предположение о том, что A₂ находится внутри треугольника ABC.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования