Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.
Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.
Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что d² = a² + ad.
Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.
Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
На рисунке изображена фигура ABCD .
Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки
(причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности,
причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию
или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC ,
чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.
Известно, что расстояние от центра описанной окружности до
стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой
окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону
AB, если она меньше
, а две другие стороны
треугольника равны 2 и 3.
Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого
угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь
треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4,
BC = , AC = 2.
Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку m , а противолежащий этому катету угол равен данному углу α .
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом.
После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так,
чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
|
|
 |
Условие
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом.
После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так,
чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
Решение
а) Пусть Петя каким-либо образом расположил равные отрезки.
Заметим, что параллельный перенос отрезка не меняет длину его проекции на любую плоскость.
Поэтому Андрей может осуществить параллельный перенос Петиных отрезков таким образом, чтобы
они имели общее начало O (см. рис. 10.6).
Тогда искомой плоскостью является плоскость ABC , проходящая через другие концы отрезков.
Таким образом, при ортогональном проектировании равных отрезков OA , OB и OC на эту плоскость их проекции
O'A , O'B и O'C будут равны.
Отметим, что если никакие два из исходных отрезков не были параллельными,
то такая плоскость– единственная.
Если же среди исходных отрезков были параллельные, то таких плоскостей много и можно проектировать на
любую из них.
б) Если Петя расположит два неравных отрезка параллельно друг другу, а третий отрезок не параллельно им,
то Андрей не сможет осуществить задуманное. Это следует из того, что
при параллельном проектировании на любую плоскость сохраняется
отношение длин параллельных отрезков (если проекции не являются точками).
Если же проекции двух параллельных отрезков окажутся точками, то проекция третьего отрезка точкой не будет.
Ответ
а) да, всегда; б) нет, не всегда.
