Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
|
|
 |
Условие
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты.
Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек.
Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
Решение
Лемма. Если три фишки лежат на одной прямой и имеют целые координаты, то можно совместить
любые две из них.
Пусть наименьшее расстояние из трех попарных расстояний будет между фишками A и B , тогда
сдвинем третью фишку C несколько раз на вектор или
так, чтобы C попала на отрезок
AB ; после этого наименьшее из трех попарных расстояний уменьшится. Будем повторять эту операцию до тех пор,
пока наименьшее из попарных расстояний не станет равным нулю (в силу целочисленности
расстояний между точками, это рано или поздно произойдет). Если требуемые фишки совместились,
то цель достигнута, иначе берем требующую
совмещения фишку из этих двух совместившихся и переносим на оставшуюся. Лемма доказана.
Спроектируем фишки A , B , C , D на одну из осей. Проекции двигаются по тому же правилу, что и
фишки, т.е., если фишка сдвигается на
некоторый вектор, то ее проекция сдвигается на проекцию этого вектора. Совместим проекции фишек A и B ,
используя проекцию C в качестве третьей. Далее мы будем рассматривать фишки A и B
как одну фишку X (движение X означает движение сначала фишки
A , а затем фишки B на требуемый вектор; их проекции по-прежнему совмещены после такой
операции).
Совместим проекции X и C . Получим три фишки ( A , B и C ) с одинаковой проекцией,
т.е. лежащие на
одной прямой и имеющие целочисленные координаты. Среди них две фишки, требующие совмещения. Их можно
совместить согласно лемме.
