Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

   Решение

В треугольнике ABC взята такая точка O, что  ∠COA = ∠B + 60°,  ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°.  Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.

   Решение

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

   Решение

Набор пятизначных чисел {N₁ , N_k} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N₁ , N_k . Найдите наименьшее возможное значение k .

   Решение

У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

   Решение

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

   Решение

Темы:    [ Системы точек ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Решение

Первое решение. Рассмотрим любые 3 точки A , B и C , не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть T1 – система координат, в которой эти точки имеют целые координаты.

Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее D . Пусть T2 – система координат, в которой точки B , C , D имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка BC в T1 и T2 будет целым, то отношение квадратов единиц измерения T1 и T2 – рациональное число. Но скалярное произведение векторов (,) в T2 – целое, значит, в T1 оно рационально, поскольку произведение длин этих векторов в T1 будет рационально относиться к произведению их длин в T2 , а косинус угла не изменится.

Аналогично, (,) рационально. Пусть в T1 – это (x,y) , – это (z,t) , – это (p,q) . Тогда px+qy=m и pz+qt=n – рациональны, откуда p= , q= – рациональные числа (поскольку xt-yz0 , так как A , B , C не лежали на одной прямой). Следовательно, точка D в T1 имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно координаты всех точек сделать целыми.


Второе решение. Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Докажем, что tg BAC – либо рациональное число, либо не существует.

Рассмотрим координаты этих точек в системе, соответствующей тройке A , B , C . Если x_A=x_B (случай x_A=x_C аналогичен), то tg BAC= рационален (или не существует). Если же x_B x_A и x_C x_A , то числа p= и q= рациональны.

Но p= tgα , q= tgβ , где α и β – углы, образуемые лучами AB и AC с положительным направлением оси Ox , поэтому из формулы tg CAB= tg(β-α)= следует рациональность tg BAC (или тангенс не существует, если pq=-1 ). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов всех треугольников с вершинами в данных точках.

Рассмотрим систему координат с центром A и единичным вектором по оси Ax , равным . Для любой точки D нашего множества tg DAB и tg DBA рациональны, поэтому уравнения прямых AD и BD имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка D имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты у всех точек.

Источники и прецеденты использования