Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
Решите уравнение:
Докажите, что если (x+)(y+
)=1 , то x+y=0 .
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
|
|
 |
Условие
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
Решение
Возьмем четыре различных числа a,b,c,d M .
Из рациональности чисел d2+ab и d2+bc
следует рациональность bc-ab , откуда
a2+ab=a2+bc-(bc-ab)
.
Аналогично,
b2+ab
. Поэтому для произвольных различных
a,b
M число
q=
=
.
Тогда a=qb
a2+ab=b2(q2+q)=l
,
b=
=
,
m,k
.
Значит, число b
, где n=mk , рационально.
Тогда c
=
·
b
для любого c
M .
