Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n  a_n+1 = a_n + b_n,  где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

   Решение

---

На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.

   Решение

---

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

   Решение

---

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

   Решение

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Описанные четырехугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Решение

Обозначим через O центр вписанной окружности четырехугольника ABCD . Поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны, OA NK , OB KL . Высота AK₁ треугольника ABK перпендикулярна BK , поэтому AK₁ || OB . Аналогично, BK₁ || OA . Следовательно, AOBK₁ – параллелограмм, и точка K₁ получается из точки A параллельным переносом на вектор = . Таким же образом, точка L₁ получается из точки C параллельным переносом на вектор . Поэтому = .

Также получаем, что = , откуда следует, что K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования