Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

   Решение

---

а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?

   Решение

---

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

   Решение

---

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Решение

  Обозначим траекторию шара B₁B₂...B₁₉₉₈B₁, где B₁ – середина A₁A₂. Также обозначим  α = ∠ B₂B₁A₂  (угол, под которым пустили шар),
φ = ∠B₁A₂B₂ = ^1996π/₁₉₉₈  – угол правильного 1998-угольника,  β = π – α – φ = ∠B₁B₂A₂ (см. рис.).

  По закону отражения  ∠B₃B₂A₃ = β.  Из треугольника B₂A₃B₃  ∠B₂B₃A₃ = π – β – φ = α,  снова по закону отражения  ∠B₄B₃A₄ = α,  и т.д., наконец
∠ B₁₉₉₈B₁A₁ = α.  В результате получаем, что все треугольники B₁A₂B₂, B₂A₃B₃, ..., B₁₉₉₈A₁B₁ имеют углы α, β, φ и, следовательно, подобны друг другу. Пусть      – отношение соответствующих сторон в этих подобных треугольниках.

  Имеем:  k·B₂A₂ = B₁A₂,  k·B₂A₃ = B₃A₃,  k·B₁₉₉₈A₁ = B₁A₁.  Сложив эти равенства, получим:  k(A₂A₃ + A₄A₅ + ... + A₁₉₉₈A₁) = A₁A₂ + A₃A₄ + ... + A₁₉₉₇A₁₉₉₈,  откуда  k = 1  в силу правильности многоугольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Значит, все треугольники B₁A₂B₂, B₂A₃B₃, ..., B₁₉₉₈A₁B₁ – равнобедренные, и точки B₂, ..., B₁₉₉₈ – середины соответствующих сторон многоугольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Это доказывает правильность многоугольника B₁B₂...B₁₉₉₈ (см. задачу 55719).

Замечания

См. также решение 2 задачи 78287, где единственность угла, под которым можно выпустить шар из начальной точки, доказана другим способом.

Источники и прецеденты использования