Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Натуральные числа d и d' > d – делители натурального числа n. Докажите, что d' > d + d²/n.
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
|
|
 |
Условие
При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?
Решение
Заметим, что при n = 2000 = 40·49 + 40 требуемое разрезание существует (рис. слева).
Допустим, что найдётся квадрат n×n, где n < 2000, удовлетворяющий условию. Тогда в нём можно выбрать столбец (строку), пересекающий как квадрат 40×40, так и квадрат 49×49; таковым, например, окажется один из выделенных на рисунке справа трёх рядов.
Пусть в выбранном ряду a квадратов 40×40 и b квадратов 49×49. Тогда 40a + 49b = n, где a ≥ 1 и b ≥ 1.
Пусть i-й столбец (1 ≤ i ≤ n) квадрата n×n пересекается с ai квадратами 40×40 и bi квадратами 49×49. Тогда из равенства
40(ai – a) + 49(bi – b) = 0 следует, что ai – a делится на 49, bi – b делится на 40, и если ai ≠ a, то bi ≠ b. В этом случае, если b < 40, то bi ≥ 41 и n ≥ 2009, а если b ≥ 40, то
n ≥ 49·40 + 40 = 2000, так как a ≥ 1.
Значит, если n < 2000, то для всех i, 1 ≤ i ≤ n, ai = a, bi = b. Следовательно, первый столбец пересекается с a квадратами 40×40 и первые 40 столбцов с другими квадратами 40×40 не пересекаются.
Аналогично следующие a квадратов 40×40 целиком содержатся в столбцах 41–80. Тогда следующие квадраты 49×49 располагаются в столбцах 50–98, и т.д. до столбца с номером 40·49. Далее можно отрезать первые 40·49 столбцов и повторить рассуждение с оставшимися.
В итоге получаем, что n делится на 40·49, то есть n = k·40·49. Но уравнение 40a + 49b = 40·49 при a ≥ 1, b ≥ 1 целых корней не имеет. Значит,
n ≥ 2·40·49 > 2000. Противоречие.
Ответ
n = 2000.
