Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренную трапецию KLMN ( LMKN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

   Решение

---

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

   Решение

---

Решить уравнение 2-log _{sin x} cos x=log _{cos x} sin x.

   Решение

---

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .

Решение

Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Так как противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то диагонали каждой грани полученного параллелепипеда также равны. Поэтому все грани параллелепипеда – прямоугольники. Значит, параллелепипед – прямоугольный. Пусть ABCDA1B1C1D1 – полученный прямоугольный параллелепипед, а ACB1D1 – исходный тетраэдр, в котором

AC = B1D1 = a, AD1 = B1C = b, AB1 = D1C = c.
Искомый угол равен углу между диагоналями прямоугольника ABCD . Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда

Сложим почленно первое и второе уравнение системы и вычтем из результата третье. Получим, что
y2 = (a2 + b2 - c2).
Пусть α – искомый угол между прямыми AC и D1B1 , а O – центр прямоугольника ABCD . По теореме косинусов из треугольника BOC находим, что
cos α = | cos BOC| = || =

= || = ||= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования