В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 7,2-1,92t+0,128t² , где t  — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

   Решение

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

   Решение

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Решение

Построение основано на двух леммах. 1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром O и описанных около данной окружности с центром I , пересекаются в одной и той же точке L , лежащей на продолжении отрезка OI за точку I . 2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей середины его диагоналей (Теорема Монжа). Отметим также, что в любом четырехугольнике точка M пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам отрезок между серединами диагоналей. Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на окружности с диаметром OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка M лежит на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются I и середина OL . Поэтому, проведя через M прямую, перпендикулярную IM , и найдя точку ее пересечения с OI , мы получим середину OL , а значит, и саму точку L . Далее, построив окружность с диаметром OL и найдя ее точки пересечения с прямой MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой OI , нетрудно убедиться, что для третьей вершины X XI – биссектриса угла OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с диагоналями.

Источники и прецеденты использования