Версия для печати
Убрать все задачи

---

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

   Решение

---

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

   Решение

---

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые каждого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что каждые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A₁C₁ в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.

   Решение

---

В компании из  2n + 1 человека для любых n человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.
Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

   Решение

---

Медианы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке M , причем AMB=120^o . Докажите, что углы AB'M и BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.

   Решение

---

У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

   Решение

---

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

   Решение

---

Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {a_n} из натуральных чисел, что произведение a_n...a_n+9 делится на сумму
a_n +... + a_n+9  при любом натуральном n?

   Решение

---

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа,  a₁ < a₂ < ... < a₁₀.  Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что  a₁₀ > 500.

   Решение

---

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

   Решение

---

Через вершины B , C и D трапеции ABCD ( AD|| BC ) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой AB , а её центр лежит на диагонали BD . Найдите периметр трапеции ABCD , если BC=9 , AD=25 .

   Решение

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершины B , C и D трапеции ABCD ( AD|| BC ) проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой AB , а её центр лежит на диагонали BD . Найдите периметр трапеции ABCD , если BC=9 , AD=25 .

Ответ

66.00

Источники и прецеденты использования