Версия для печати
Убрать все задачи

---

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

   Решение

---

По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.

   Решение

---

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

   Решение

---

Точка O лежит на диагонали KM выпуклого четырёхугольника KLMN. Известно, что  OM = ON  и что точка O одинаково удалена от прямых NK, KL и LM. Найдите углы четырёхугольника, если  ∠LOM = 55°  и  ∠KON = 90°.

   Решение

---

Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной  CD = 3,  если расстояния от вершин A и B до прямой CD равны 5 и 7 соответственно.

   Решение

---

В треугольнике ABC M – точка пересечения медиан, O – центр вписанной окружности, A', B', C' – точки ее касания со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что, если CA' = AB, то прямые OM и AB перпендикулярны.

   Решение

---

Среди углов каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол φ. Найдите все возможные значения φ.

   Решение

---

В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
  а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.

   Решение

---

Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

   Решение

---

Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

   Решение

---

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

   Решение

---

Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

   Решение

---

Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной  BC = 5,  если расстояния от вершин A и D до прямой BC равны 3 и 7 соответственно.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной  BC = 5,  если расстояния от вершин A и D до прямой BC равны 3 и 7 соответственно.

Решение

Пусть M – середина боковой стороны AD; A₁, M₁ и D₁ – проекции точек A, M и D на прямую BC. Поскольку MM₁ – средняя линия трапеции ADD₁A₁, то  MM₁ = ½ (AA₁ + DD₁) = 5.  Согласно задаче 54964  S_ABCD = 2S_BMC = BC·MM₁ = 5·5 = 25.

Ответ

25.

Источники и прецеденты использования