Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P, AB : BC = 2 : 3. Найдите AP : PC.
Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб KLMN с углом 60o при вершине K . Точки E и F – середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB .
Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы
до прямой AC равно AB .
|
|
 |
Условие
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы
до прямой AC равно AB .
Решение
Центр сферы, касающейся двух пересекающихся плоскостей лежит в биссекторной
плоскости одного из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Для
данной пирамиды такая сфера либо вписана в пирамиду, либо касается плоскости
основания и продолжений всех боковых граней, либо касается одной из боковых
граней и продолжений остальных граней.
Пусть SK и SN – высоты треугольников ASB и DSC соответственно, H –
центр ромба ABCD .
Если сфера вписана в пирамиду SABCD , то её центр O лежит на высоте SH ,
т.к. биссекторные плоскости двугранных углов, образованных соседними боковыми
гранями такой пирамиды пересекаются по прямой SH . По теореме о трёх перпендикулярах
HK AB и HN
CD , и т.к. AB || CD , то точки K , H и N
лежат на одной прямой – высоте ромба ABCD . Плоскость ASB проходит через прямую
AD , перпендикулярную плоскости KSN , поэтому плоскости ASB и KSN перпендикулярны,
значит, перпендикуляр OE , опущенный из точки O на прямую SK пересечения
плоскостей ASB и KSN (т.е. радиус сферы), лежит в плоскости KSN .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KSN . В четырёхугольнике OEKH известно,
что OE = OH = KH = 2 и
OEK =
OHK = 90o . Из
равенства прямоугольных треугольников OHK и OEK (по катету и гипотенузе)
следует, что EK = KH = 2 , поэтому OEKH – квадрат, что невозможно, т.к.
EKH < 90o . Таким образом, сфера не может быть вписана в данную пирамиду.
Аналогично доказывется, что сфера не может касаться грани ABCD и продолжения всех
боковых граней пирамиды.
Пусть сфера касается грани DSC и продолжений остальных граней пирамиды.
Плоскости ASB и CSD проходят через параллельные прямые AB и CD , поэтому прямая
l их пересечения параллельна каждой и этих прямых. Пусть F – точка на продолжении
отрезка KS за точку S . Тогда FSN линейный угол двугранного угла, содержащего
центр O1 сферы. Тогда биссектриса m этого угла лежит в биссекторной плоскости α
рассматриваемого двугранного угла и параллельна KN как биссектриса внешнего угла при
вершине S равнобедренного треугольника KSN , а т.к. две пересекающиеся прямые l и
m плоскости α соответственно параллельны прямым AB и KN плоскости
ABCD , то плоскость α параллельна плоскости ABCD . Аналогично доказывется, что
плоскость α – биссекторная плоскость двугранного угла между продолжениями
граней ASD и BSC .
Таким образом, радиус сферы равен расстоянию между параллельными плоскостями α и
ABCD . Поэтому SH=2 , а т.к. NH =
KN = 2 , то SN = 2
.
Биссекторная плоскость двугранного угла между плоскостями ABCD и CSD , содержащая
центр этой сферы, проходит через прямую CD , параллельную плоскости α , и пересекает
плоскость α , поэтому прямая пересечения параллельна прямой CD . Аналогично,
остальные биссекторные плоскости двугранный углов, смежных с двугранными углами пирамиды при
рёбрах её основания, пересекают плоскость α по прямым, параллельным этим рёбрам. Пусть
OAOBOCOD – четырёхугольник, образованный пересечением этих четырех прямых.
Его противоположные стороны попарно параллельны, значит, это – параллелограмм. Его диагонали
соответственно параллельны диагоналям ромба ABCD , значит, OAOBOCOD – ромб,
подобный ромбу ABCD . Таким образом, центром сферы, о которой говорится в условии задачи, не
может быть точка, отличная от точек OA , OB , OC и OD , т.к. только эти точки
плоскости α равноудалены от плоскостей всех граней пирамиды.
Поскольку SOD || HN , точка OD лежит в плоскости KSN , причём
NOD – биссектриса угла SNG , смежного с углом SNK . Поэтому
SODN =
ODNG =
SNOD , значит, SOD=SN , а коэффицент
подобия ромбов OAOBOCOD и ABCD равен
=
=
.
Точки OA и OC не удовлетворяют условию задачи, т.к. тогда их расстояние до
прямой AC равно расстоянию между плоскостями α и ABCD , т.е. 2, поэтому
AB=2 , откуда AD = AB =
< 4 = KN , что невозможно,
т.к. сторона ромба меньше его высоты.
Рассмотрим точку OD . Обозначим AB=x . Из подобия ромбов следует, что
DH =
SOD . Поскольку ортогональная проекция прямой ODH на
плоскость основания пирамиды есть прямая DH и DH
AC , то по теореме о трёх
перпендикулярах ODH
AC , значит, длина отрезка ODH и есть расстояние от
точки OD до прямой AC , а т.к. по условию это расстояние равно
x ,
то из прямоугольного треугольника SHOD находим, что
Тогда
Пусть Q – проекция точки B на сторону CD ромба ABCD . Тогда
Из уравнения
Ответ
8 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8909 |
