Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC . Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB .

   Решение

В треугольник ABC со сторонами  AB = 6,  BC = 5,  AC = 7  вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

   Решение

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC и площадью, равной 4, прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MBN и длину основания AD .

   Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5.

   Решение

В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.

   Решение

В трапеции ABCD с большим основанием BC и площадью, равной 4 , прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MDN и длину основания BC .

   Решение

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Площадь четырехугольника ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

Решение

Разрежем двенадцатиугольник тремя большими диагоналями на шесть равных четырёхугольников. Одна из диагоналей такого четырёхугольника – радиус окружности, а вторая – хорда, соответствующая центральному углу в 60°. Поэтому диагонали перпендикулярны и равны, значит, площадь четырёхугольника равна ½.

Замечания

Можно, конечно, разрезать двенадцатиугольник и на 12 равнобедренных треугольников с боковой стороной 1 и углом при вершине 30°, площади которых находятся, например, по формуле  S = ½ ab sin C.

Источники и прецеденты использования