Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие,
что x2+y2 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди).
Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и
стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в
какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов
должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из
точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни
играл его соперник?
Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и
+
+
+
=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то
+
+
+
= S . Найти S .
Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?
Докажите, что если a, b, c – положительные числа и ab + bc + ca > a + b + c, то a + b + c > 3.
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
|
|
 |
Условие
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?
Решение
Предположим, что такое возможно. Пусть a – простое число, 77 < a ≤ 150, а b – число, стоящее в соседней по стороне клетке. Если уравнение
x² – bx + a = 0 имеет два целых корня, то их произведение равно a, а сумма равна b > 0. Значит, эти корни равны 1 и a, и b = 1 + a. Если же уравнение x² – ax + b = 0 имеет два целых корня x1 и x2, то x1 + x2 = a, x1x2 = b. Пусть x2 ≥ x1 ≥ 2. Так как функция t(a – t) возрастает при t ≤ a/2, то b = x1(a – x1) ≥ 2(a – 2) > 150, что невозможно. Значит, и в этом случае один из корней равен 1, и b = 1·(a – 1) = a – 1. Итак, для таких простых значений a возможны лишь два варианта числа, стоящего в соседней клетке: b = a – 1 и b = a + 1.
Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. У всех клеток с такими простыми числами только две соседних, значит, все они – угловые. Однако между 77 и 150 находится более четырёх простых чисел (79, 83, 89, 97, 101, ...). Противоречие.
Второй способ. Простые числа 101 и 103 должны стоять в углах, и их соседями должны являться 100, 102 и 102, 104. Но клетка с числом 102 не может быть соседней с двумя угловыми. Противоречие.
Ответ
Не может.
