Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа 2008!.
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность.
Докажите, что если боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер AB , AA1 , AD и плоскости B1CD1 ; б) рёбер AB , AA1 , AD и прямой CD1 .
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.
B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?
В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?
Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая,
проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых
обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь
четырехугольника на две равновеликие части.
a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если
один из них равен 72o ?
|
|
 |
Условие
Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая,
проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых
обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь
четырехугольника на две равновеликие части.
a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если
один из них равен 72o ?
Решение
Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — центр вписанной в него окружности, прямые AO , CO — две из трёх прямых, данных в условии.
а) Если точка O лежит на прямой AC , то эта прямая является осью симметрии четырёхугольника ABCD (т.к. лучи AO и CO являются биссектрисами углов A и C соответственно), поэтому прямые BO и DO одновременно обладают указанным свойством. Рассмотрим случай, когда прямые AO и CO не совпадают и пересекают границу четырёхугольника в точках P и Q соответственно (рис.), на котором для определённости P
Из условия следует, что треугольники AOQ и COP равновелики, а так как их высоты, опущенные из вершины O , равны, то AQ=CP . Кроме того,
откуда AO+OQ=CO+OP . Поэтому либо AO=OP и OQ=CO , либо AO=OC и OQ=OP (по теореме, обратной теореме Виета) и треугольники AOQ и COP равны. При этом, если AO=OP и OQ=CO , то
б) В п. а) мы доказали, что четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей. Если он симметричен относительно и другой диагонали, то он — ромб и его углы равны 72o, 108o, 72o, 108o . Обратно, ромб с такими углами удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим случай, когда ось симметрии только одна (без ограничения общности этот случай можно разбирать по рис.). Так же, как и в п. а), получаем, что треугольники AOB и DOP равновелики и равны. При этом
Четырёхугольник ABCD с такими углами, удовлетворяющий условию задачи, существует: его можно составить из равных треугольников AOB , COB , DOQ , DOP и равных треугольников AOQ , COP (рис.). Высоты первых четырёх треугольников, опущенные из вершины O , равны, поэтому точка O является центром окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD ; каждая из прямых AO , BO , CO , DO делит его на два равносоставленных, а значит, и равновеликих многоугольника.
Комментарий 1. Тот факт, что треугольник однозначно определяется одной из сторон, опущенной на неё высотой и противолежащим этой стороне углом, можно доказать чисто геометрически, используя следующее утверждение: геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, являются две дуги окружностей, стягиваемые этим отрезком как хордой, в которые данный угол вписан (рис.).
2. Четырёхугольник, для которого каждая из прямых, проходящих через вершину и центр вписанной окружности, делит его на две равновеликие части, — это либо ромб, либо выпуклый дельтоид, у которого три угла равны (не обязательно номеру текущей олимпиады в градусах!) и меньше четвёртого, т.е. углы которого имеют вид α, α, α, 360o - 3α , причём α<360o-3α < 180o , или, что то же самое, 60o <α < 90o .
Ответ
б) 72o, 108o, 72o, 108o или 72o, 72o, 72o, 144o .
