Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна .

   Решение

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

   Решение

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

   Решение

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

Решение

Рассмотрим квадраты BCYX и ACUV с центрами E и F соответственно. При повороте вокруг точки C на 90^o точка A переходит в точку U , точка Y — в точку B , отрезок AY — в отрезок UB , значит, AY=UB и AY UB .
Пусть M — середина AB . Тогда ME и MF — средние линии треугольников ABY и ABY , поэтому ME=AY=UB=MF , ME || AY и MF || BU , значит, отрезки ME и MF равны и перпендикулярны.
При повороте вокруг точки M на 90^o вершина B переходит в точку D , точка F — в точку E , отрезок BF — в отрезок DE . Следовательно, эти отрезки равны и перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования