Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S.
Найдите наименьшее возможное значение S. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)
Сумма чисел a1, a2, a3, каждое из которых больше единицы, равна S, причём для любого i = 1, 2, 3.
Докажите, что
Уголком размера n×m , где m,n2 , называется фигура, получаемая из
прямоугольника размера n×m клеток удалением прямоугольника
размера (n-1)×(m-1) клеток.
Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке
произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат.
Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после
чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при
правильной игре?
Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
Существуют ли такие двузначные числа ab, cd, что ab·cd = abcd.
Найдите наибольшее натуральное число N, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше N.
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.
Окружность Ω описана около треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B взяли такую точку B1, что AB1 = AC. Биссектриса угла A пересекает Ω вторично в точке W. Докажите, что ортоцентр треугольника AWB1 лежит на Ω.
На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
|
|
 |
Условие
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
Решение
Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство:
Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что то есть, что
Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.
Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точка Р расположена вне треугольника АВС.
