ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115903
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Окружности (построения) ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две пересекающиеся окружности с центрами O1, O2. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O1O2 на наибольшее расстояние.


Решение

Пусть O, r – центр и радиус некоторой окружности, касающейся данных; r1, r2 – радиусы данных окружностей. Тогда либо  OO1 = r1r,  OO2 = r2 + r,  либо  OO1 = r1 + r,  OO2 = r2r,  и в обоих случаях  OO1 + OO2 = r1 + r2.  Следовательно, среди всех точек, удовлетворяющих этому условию, надо найти наиболее удалённую от прямой O1O2. Наибольшую высоту среди всех треугольников с данными одной стороной и суммой двух других имеет равнобедренный (см. решение задачи 55613). Отсюда получаем, что центр искомой окружности лежит на равных расстояниях  ½ (r1 + r2)  от точек O1 и O2, а её радиус равен  ½ |r1r2|.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Класс
Класс 9
задача
Номер 9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .