Метро города Урюпинска состоит из трёх линий и имеет по крайней мере две конечные станции и по крайней мере два пересадочных узла, причём ни одна из конечных станций не является пересадочной. С каждой линии на любую из остальных можно перейти по крайней мере в двух местах. Нарисуйте пример такой схемы метро, если известно, что это можно сделать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза один и тот же отрезок.

   Решение

Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание -- 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.

   Решение

В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

   Решение

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль – 5, а Тофсла – 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в двоих.)

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, у которого одна из вершин была в данной точке, а две другие — на двух данных окружностях.

Решение

Предположим, что вершины B и C равностороннего треугольника ABC лежат на данных окружностях S1 и S2 соответственно, а вершина A совпадает с данной точкой, лежащей вне окружностей. При повороте на угол 60^o вокруг точки A , переводящем вершину B в вершину C , центр O1 окружности S1 перейдёт в точку O1' , окружность S1 — в окружность S1' с центром O1' , проходящую через точку C .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ O1' центра O1 данной окружности S1 при повороте вокруг данной точки A на угол 60^o или -60^o . Если при этом повороте образ окружности S1 пересекает вторую данную окружность S2 , то каждая точка C пересечения является второй вершиной искомого равностороннего треугольника. Тогда вершина B — образ точки C при повороте вокруг точки A в противоположном направлении.

Источники и прецеденты использования