На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

  а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

   Решение

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

   Решение

Даны две пересекающиеся окружности с центрами O₁, O₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O₁O₂ на наибольшее расстояние.

   Решение

Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?

   Решение

В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что
∠A > ∠C.  Докажите, что  AK + KC > AM.

   Решение

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

   Решение

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

Решение

Pассмотрим данный уголок ABCDEF и описанный вокруг него прямоугольник KLMN (см. рис.). Проведём перпендикуляры XP, YQ, CR и ZT к сторонам прямоугольника. Прямоугольные треугольники ALB, BPX, CRD, DME, NTZ и ETZ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
BP = DM = NT = TE  и  BL = RD = EM.  По теореме Фалеса  BP = PQ = QR.  Cледовательно,  NM = 2DM + ME,  а  ML = 4DM + 2ME,  откуда
NM : ML = 1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования