Задача 116421

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что  IM : AB = IN : CD.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Решение

Прямые AI, BI, CI, DI – биссектрисы углов четырёхугольника, поэтому сумма углов AIB и CID равна 180°. Если угол AIB острый, а угол CID тупой, то
IM > ½ AB  (это становится очевидным после построения окружности с диаметром AB), а  IN < ½ CD,  что противоречит условию. Значит, угол AIB (как и CID) прямой. Следовательно, сумма углов A и B равна 180°, то есть  BC || AD.

Замечания

1. Описанный параллелограмм – ромб.

2. 8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	6