Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).
В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.
Касательная, проведенная через вершину M вписанного в
окружность треугольника KLM, пересекает продолжение стороны KL за
вершину L в точке N. Известно, что радиус окружности равен 2,
KM = и
MNK +
KML = 4
LKM. Найдите касательную MN.
Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две
равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на
части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат
контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику,
включая контур.)
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем , б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна ,
а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60o . Найдите
площадь полной поверхности пирамиды.
Пусть M – середина стороны BC треугольника ABC. Постройте прямую l, удовлетворяющую следующим условиям: l || BC, l пересекает треугольник ABC; отрезок прямой l, заключённый внутри треугольника, виден из точки M под прямым углом.
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . На рёбрах AD ,
A1D1 и B1C1 взяты точки M , L и K соответственно,
причём B1K = A1L , AM =
A1L . Известно,
что KL = 2 . Найдите длину отрезка, по которому плоскость KLM
пересекает параллелограмм ABCD .
Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей
на прямой b , опущены перпендикуляры PA1 и PC1 на прямые AB и BC соответственно (точки A1 и C1 лежат на
отрезках AB и BC ). Докажите, что A1C1 AC .
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Вася выписал все слова (не обязательно осмысленные), которые получаются вычеркиванием ровно двух букв из слова ИНТЕГРИРОВАНИЕ, а Маша сделала то же самое со словом СУПЕРКОМПЬЮТЕР. У кого получилось больше слов?
|
|
 |
Условие
Вася выписал все слова (не обязательно осмысленные), которые получаются вычеркиванием ровно двух букв из слова ИНТЕГРИРОВАНИЕ, а Маша сделала то же самое со словом СУПЕРКОМПЬЮТЕР. У кого получилось больше слов?
Решение
В данных словах одинаковое количество букв (по 14), поэтому вычеркнуть две буквы из каждого их них можно одинаковым количеством способов. Заметим, что при вычеркивании двух букв из слова СУПЕРКОМПЬЮТЕР все полученные слова будут различны, а при вычеркивании букв РИ и ИР из слова ИНТЕГРИРОВАНИЕ получается одно и то же слово ИНТЕГРОВАНИЕ. Поэтому, у Маши получится на одно слово больше.
Ответ
У Маши.
