Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).
На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA1B1C1D1 отложен отрезок AE длины l . На диагонали B1D1 его верхней грани отложен отрезок B1F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?
На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.
Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.
Найти все действительные решения уравнения x2+2x sin xy+1=0 .
Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.
|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.
Решение
Из условия следует, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120° (см. рисунок).
Из треугольника АВD: ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°, значит, ∠DAB = ∠DBС. Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому
AD : BD = BD : CD, то есть AD·CD = BD² = a². Значит, SADC = AD·CD·sin 120° – величина постоянная.
Таким образом, площадь треугольника АВС будет наименьшей, если будет наименьшей сумма площадей треугольников ADB и BDC. Но
SADB + SBDC = ½ a(AD + CD) sin 120°, а сумма AD + CD минимальна, когда треугольник ADC равнобедренный (см. задачу 32883 б).
В этом случае, очевидно, треугольник АВС равносторонний и
Ответ
.
