F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

   Решение

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

   Решение

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

   Решение

Темы:    [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

Решение

  Пусть это удалось. Если удалённое ребро соединяло вершины с одинаковыми степенями, то в каждой полученной компоненте будет нечётное число нечётных вершин (по одной или по три), что невозможно.
  Если же удалённое ребро соединяло вершины со степенями 3 и 4, то только в одной компоненте будет вершина степени 2, то есть компоненты не будут изоморфны.

Источники и прецеденты использования