На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

   Решение

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

   Решение

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

   Решение

Десять человек захотели основать клуб. Для этого им необходимо собрать определённую сумму вступительных взносов. Если бы организаторов было на пять человек больше, то каждый из них должен был бы внести на 100 долларов меньше. Сколько денег внёс каждый?

   Решение

Когда три подруги  — Надя, Валя и Маша  — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

   Решение

Какое из чисел     (10 двоек) или     (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?

   Решение

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Показательные неравенства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Какое из чисел     (10 двоек) или     (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?

Решение

  а) См. задачу 79303 а).

  б) Пусть     (n двоек),     (n троек). Докажем по индукции, что  a_n+2 > 3b_n.  База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции.  a_n+2 = 2^a_n+2 > 2^3b_n = 2^b_n·4^b_n > 3·4^b_n > 3·3^b_n = 3b_n+1.

Ответ

а) Второе число;  б) первое число.

Источники и прецеденты использования