Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть
равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что
равновесие не нарушится.
Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.
Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?
а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных
прямых.
б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)
Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.
В одной из вершин а) октаэдра; б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?
|
|
 |
Условие
В одной из вершин а) октаэдра; б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?
Решение
а) Пусть, A, B, C, A1, B1, C1 – вершины октаэдра, причём (A, A1), (B, B1) и (B, B1) – пары противоположных вершин. Тогда любая пара вершин, кроме этих трёх, соединяется ребром. Путь мухи может быть следующим: ABA1C1BCAC1B1CA1B1A (см. рис.)
б) В каждой из восьми вершин куба сходится по три ребра. Это означает, что степень каждой вершины полученного графа нечётна, значит, путешествие совершить невозможно.
Ответ
а) Может; б) не может.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
