Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

   Решение

На рисунке изображен график функции  y = x² + ax + b.  Известно, что прямая AB перпендикулярна прямой  y = x.
Найдите длину отрезка OC.

   Решение

Увеличится или уменьшится сумма  ,  если все слагаемые в ней заменить на ¹/₁₅₀?

   Решение

Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если = , то = .

   Решение

Докажите, что уравнение  x² + y² – z² = 1997  имеет бесконечно много решений в целых числах.

   Решение

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

   Решение

В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

   Решение

а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.

   Решение

На гранях двух разных правильных тетраэдров M и N написаны числа M1, M2, M3, M4 и N1, N2, N3, N4 в порядке, указанном на рис.1.3. Можно ли совместить тетраэдры так, чтобы на совпавших гранях оказались написаны одинаковые числа? Напечатать ДА или НЕТ.

   Решение

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

   Решение

Доказать неравенство

> .

   Решение

В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены.
Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

   Решение

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.

   Решение

Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?

   Решение

Темы:    [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 2 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?

Решение

Поскольку часы бьют каждый час, то дедушка насчитал 1+2+3+...+12 = 78 "ку-ку".

Ответ

Дедушка насчитал 78 "ку-ку".

Источники и прецеденты использования