Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

   Решение

---

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

   Решение

---

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A₀(x₀,f(x₀)), A₁(x₁,f(x₁)),..., A_n(x_n,f(x_n)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B₀(x₀,x₀), B₁(x₁,x₁),..., B_n(x_n,x_n),... Ломаная B₀A₀B₁A₁... B_nA_n... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
б) f (x) = ,    x₀ = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x₀ = 0, x₀ = 1, 125;
г) f (x) = - + 6,     x₀ = ;
д) f (x) = x² + 3x - 3,    x₀ = 1, x₀ = 0, 99, x₀ = 1, 01;
е) f (x) = ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
ж) f (x) = - + + 3,     x₀ = 3.

   Решение

---

Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.

   Решение

---

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

   Решение

---

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

---

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

   Решение

---

В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.

   Решение

Темы:    [ Деревья ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В стране несколько городов (больше одного); некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой, проезжая по нескольким дорогам. Кроме того, дороги не образуют циклов, то есть если выйти из некоторого города по какой-то дороге и далее двигаться так, чтобы не проходить по одной дороге дважды, то невозможно возвратиться в начальный город. Докажите, что в этой стране найдутся хотя бы два города, каждый из которых соединен дорогой ровно с одним городом.

Подсказка

Можно рассмотреть самую длинную цепь из дорог, концы этой цепи будут искомыми городами.

Решение

  Первый способ. Рассмотрим самую длинную цепь из дорог, то есть возьмём самую длинную последовательность попарно различных городов A₁, A₂, ..., A_k, в которой каждые два соседних города в этой последовательности соединены дорогой. Докажем, что из городов A₁ и A_k выходит ровно одна дорога (соответственно в A₂ и A_k–1). Пусть, например, из A₁ идет дорога в некоторый город B, отличный от A₂. Если B – один из городов A₃, ..., A_k, то возникает цикл из дорог, что противоречит условию. Таким образом, город B отличен от городов A₁, A₂, ..., A_k. Следовательно, в последовательности городов B, A₁, A₂, ..., A_k города попарно различны и соседние города соединены дорогой. Но эта последовательность содержит больше k городов вопреки выбору последовательности A₁, A₂, ..., A_k.

  Второй способ. См. задачу 31098 в).

Источники и прецеденты использования