Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
В прямоугольной трапеции PQRS (
QR || PS,
PQ PS) меньшее основание QR равно 2, а
боковая сторона RS равна 4. Точка T, середина стороны RS,
соединена отрезком прямой с точкой P. Известно, что
угол TPS равен
. Найдите площадь трапеции PQRS.
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим yb как образ прямой y при симметрии относительно XB, а yc – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть yb и yс пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих yb и yс).
На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
|
|
 |
Условие
На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом
2000 клеток. Докажите, что среди них
всегда можно выбрать не менее 500 клеток,
попарно не соприкасающихся друг с другом
(соприкасающимися считаются клетки,
имеющие хотя бы одну общую вершину).
Подсказка
Раскрасьте клетки в 4 цвета так, чтобы никакие две клетки
одного цвета не соприкасались.
Решение
Рассмотрим некоторую (бесконечную) строку и все строки, идущие через одну клетку от нее. Клетки каждой из этих строк окрасим через одну красным и желтым. Рассмотрим оставшиеся строки. Клетки каждой из этих строк окрасим через одну синим и зеленым. Таким образом, каждая клетка получила свой цвет и никакие две клетки одного цвета не соприкасаются. Остается заметить, что так как отмечено 2000 клеток, то клеток хотя бы одного из цветов не меньше 2000/4=500 (по принципу Дирихле).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
