Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Угол при вершине A треугольника ABC равен 120o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что CB = BE.
В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p² – 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, – 2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x² + px + q = 0 на интервале (– 2, 1).
Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
|
|
 |
Условие
Докажите, что если в четырехугольнике два
противоположные угла тупые, то диагональ,
соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
Подсказка
Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD.
Постройте на диагонали AC как на диаметре окружность.
Решение
Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Построим на диагонали AC как на диаметре окружность. Тогда точки B и D лежат внутри этой окружности. Пусть прямая BD пересекает окружность в точках M и N. Тогда BD<MN, но MN не меньше AC, так как длина хорды окружности не превосходит диаметра этой окружности.
Замечания
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
