Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что
AP : AD = 1 : n, Q – точка пересечения прямых AC и BP.
Докажите, что AQ : AC = 1 : (n + 1).
На сторонах произвольного треугольника ABC вне
его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C
и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами ,
и
при этих вершинах, причем
+
+
= 2
. Докажите, что углы
треугольника A'B'C' равны
/2,
/2,
/2.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2.
Найдите расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.
Докажите, что при x ≥ 0.
Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
|
|
 |
Условие
Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
Решение
Пусть O и O2 – центры окружностей радиусов 27 и 13, A и B – точки касания окружностей
с их общей внешней касательной, C и D соответственно – с внутренней, O2P – перпендикуляр, опущенный на OA (рис. слева). По теореме Пифагора O2P² = O2O² – OP² = 50² – (27 – 13)² = 48², поэтому AB = O2P = 48.
Опустим перпендикуляр OQ на продолжение радиуса O2D (рис. справа). Тогда СD² = OQ² = O2O² – O2Q² = 50² – (27 + 13)² = 30².
Ответ
48 и 30.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 556 |
