Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.

   Решение

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + ,  считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

   Решение

Известно, что "медные" монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех "медных" монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

   Решение

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K.
Найдите KC, если  BC = 4,  а  AK = 6.

   Решение

Из точки A на биссектрисе угла с вершиной L опущены перпендикуляры AK и AM на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (K лежит между Q и L), а прямую ML – в точке S. Известно, что  ∠KLM = α,  KM = a,  QS = b.  Найдите KQ.

   Решение

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Подсказка

Опишите окружность около данного треугольника и продолжите биссектрису до пересечения с этой окружностью.

Решение

  Пусть в треугольнике ABC точки H, D и M – основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины B.
  Опишем около треугольника ABC окружность. Пусть P – точка пересечения прямой BD с этой окружностью. Тогда P – середина дуги AC. Поэтому прямая, проведённая через точку P параллельно BH, перпендикулярна хорде AC (так как  BH ⊥ AC)  и, значит, проходит через её середину M.
  Поскольку точки B и P лежат по разные стороны от прямой AC, то точка D лежит между проекциями концов отрезка BP, то есть между точками H и M.

Источники и прецеденты использования