В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T₁T₂ (T₁ и T₂ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A₁ и A₂. Докажите, что A₁T₁ = A₂T₂ (или, что эквивалентно, A₁T₂ = A₂T₁).

   Решение

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = ^3r/₈.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

   Решение

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

   Решение

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

   Решение

Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.

   Решение

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.

Решение

  Пусть высота CD и медиана CM делят угол C треугольника ABC на три равные части. Предположим, что точка D расположена между B и M. Обозначим  ∠BCD = ∠DCM = ∠ACM = α.  Поскольку в треугольнике BCM высота CD является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, поэтому CD – медиана треугольника BCM и  BD = DM.

  Первый способ. Пусть K – проекция точки M на AC. Тогда из равенства прямоугольных треугольников CKM и CDM (по гипотенузе и острому углу) следует, что  MK = DM = ½ BM = ½ AM.
  Значит,  ∠MAK = 30°.  Следовательно,  2α = ∠ACD = 90° – ∠MAK = 60°,  α = 30°,  ∠C = 3α = 90°,  ∠B = 60°.

  Второй способ. Биссектриса CM треугольника ACD делит сторону AD на отрезки, пропорциональные сторонам AC и CD, то есть
CD : AC = DM : AM = DM : BM = ½.
  Значит,  ∠CAD = 30°.  Следовательно,   2α = ∠ACD = 90° – ∠CAD = 60°,  α = 30°.

Ответ

30°, 60°, 90°.

Источники и прецеденты использования