Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

   Решение

---

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

   Решение

---

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

   Решение

---

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.

   Решение

---

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.

   Решение

---

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

---

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

   Решение

---

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

   Решение

---

Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.

   Решение

---

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

   Решение

---

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

   Решение

---

a₁, a₂, ..., a₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что a_k делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

   Решение

---

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

   Решение

---

Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же, и c – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  m = a + ^b/₂  и  n = a – c.  Оказалось, что  m = 40.  Найдите n.

   Решение

---

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

Пусть CD – биссектриса треугольника ABC.

Первый способ. Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке K (рис. слева). Поскольку  ∠ACK = ∠KCB = ∠CKA,  треугольник CAK равнобедренный,  AK = AC.  Из подобия треугольников ADK и BDC следует, что  AC : BC = AK : BC = AD : DB.

Второй способ.  AD : DB = S_ADC : S_BDC = AC sin∠ACD : BC sin∠BDC = AC : BC.

Источники и прецеденты использования