Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения  P(n₁)P(n₂)...P(n_k).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

   Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

   Решение

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.

   Решение

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

   Решение

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

   Решение

Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне AC этого треугольника взята точка D так, что  AD = ¾ AC.  Найдите угол A, если известно, что прямая BD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника.

   Решение

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне AC этого треугольника взята точка D так, что  AD = ¾ AC.  Найдите угол A, если известно, что прямая BD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника.

Подсказка

Докажите, что  BD ⊥ AC.

Решение

  Если угол ADB – тупой, то в треугольнике CBD один из углов тупой. Тогда и в треугольнике ABC один из углов тупой, что противоречит условию. Аналогично угол ADB не может быть острым. Следовательно,  ∠ADB = 90°.
  Если  ∠BCD = ∠BAD,  то треугольник ABC – равнобедренный. Тогда его высота BD является медианой, что противоречит условию. Поэтому
∠BCD = ∠ABD  и ∠DBC = ∠BAD,  то есть треугольник ABD подобен треугольнику BCD. Следовательно,  ∠B = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠BAD = 90°.
  AD : CD = AB² : BC²,  значит,  AB : BC = : 1,  то есть  ∠A = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования