На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Подсказка

Треугольники LQC и AQB подобны с коэффициентом ½.

Решение

  Пусть O – середина BC, P и Q – точки пересечения отрезков AK и AL со стороной BC.
  Поскольку  ∠LOC = 60°  и  OL = OC,  то треугольник LOC – равносторонний. Поэтому  LC = OC = ½ BC = ½ AB,  LC || AB.
  Из подобия треугольников LQC и AQB находим, что  CQ = ^LC/_AB·BQ = ½ BQ.
  Следовательно,  CQ = ¹/₃ BC.  Аналогично  BP = ¹/₃ BC.

Источники и прецеденты использования