Версия для печати
Убрать все задачи

---

На боковых сторонах AD и BC трапеции ABCD взяты точки P и Q соответственно, причём AP:PD = 3:2 . Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CQ:QB , если AB:CD = 3:2 .

   Решение

---

Касательная и секущая, проведённые из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

   Решение

---

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

   Решение

---

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, точки E и F — на стороне BC этого треугольника, а точка P — на стороне AC. Отрезок AD составляет две трети стороны AB, отрезок BF составляет три пятых стороны BC, отрезок BE составляет одну пятую стороны BC, а точка P делит сторону AC пополам. Найдите отношение площади четырёхугольника DEFP к площади треугольника ABC.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки восстановите выпуклый четырёхугольник по четырём точкам – проекциям точки пересечения его диагоналей на стороны.

   Решение

---

Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми делится точкой касания в отношении  1 : 3.  Под каким углом секущая пересекает каждую из параллельных прямых?

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми делится точкой касания в отношении  1 : 3.  Под каким углом секущая пересекает каждую из параллельных прямых?

Подсказка

Отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Решение

  Пусть прямая l пересекает данные параллельные прямые a и b соответственно в точках A и B, а окружность с центром O касается прямых a, b и l соответственно в точках C, D и M. Поскольку OA и OB — биссектрисы углов CAB и ABD, а сумма этих углов равна 180°, то  ∠AOB = 90°.
  Проведём медиану OK прямоугольного треугольника AOB. Тогда  BM = 3AM,  OK = AK = BK = 2AM,  KM = AK – AM = AM.  Поэтому высота OM треугольника AOK является его медианой. Значит,  AO = OK = AK,  то есть треугольник AOK равносторонний. Следовательно,  ∠BAO = 60°,  ∠BAC = 2∠BAO = 120°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования