Информация о задаче

Выбрано 13 задач

Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

Решение

В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 10. Найдите стороны четырёхугольника.

Решение

Найдите все значения корней:
a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Решение

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

Решение

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

$\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}$

$\begin{picture} (150,50)\multiput(0,0)(0,10){6}{\line(1,0){130}} \multiput(0,0... ...0,1){30}}\put(50,20){\line(0,1){30}} \qbezier(0,0)(65,25)(129,50) \end{picture}$

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Решение

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что
а) z₁ + ... + z_n ≠ 0;
б) ¹/_z₁ + ... + ¹/_{z_n} ≠ 0.

Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

Решение

Найдите все числа вида 13xy45z, которые делятяс на 792.

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите AP² + BP² + CP² + DP² и AB² + BC² + CD² + AD².

Решение

Докажите, что при любом натуральном n число n² + 8n + 15 не делится на n + 4.

Решение

Известно, что z + z^–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zⁿ + z^–n через y = z + z^–1?

Решение

Автор: Заславский А.А.

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение AK : BK равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных концентрических окружностей и данной прямой.

Решение

Условие

Подсказка

Решение

Источники и прецеденты использования