Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

   Решение

---

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

   Решение

---

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

---

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

   Решение

---

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть  BC = a  – данная сторона,  ∠A = α  – данный угол,  AB + AC = d – данная сумма сторон.
  На продолжении стороны BA за точку A отложим отрезок AD, равный AC. Тогда  BD = d,  треугольник DAC – равнобедренный. Поэтому
∠BDC = ½ ∠BAC = ^α/₂.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок BD, равный d. От луча DB откладываем угол, равный ^α/₂. С центром в точке B проводим окружность радиуса a. Точка пересечения этой окружности с проведённым ранее лучом (таких точек может быть две) есть искомая вершина C. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку DC с прямой BD даёт искомую вершину A.

Источники и прецеденты использования